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原子中的电子

最简单的情况：氢原子

氢原子中的电子的状态由三个量子数决定：

  • 主量子数，\(n \in \{1,2,3, \cdots \}\)
  • 轨道量子数，\(l \in \{ 0,1,2,3,4, \cdots, n-1\}\)
  • 轨道磁量子数，\(m_l \in \{ -l, -l+1, \cdots, 0, 1, \cdots, l\}\)

主量子数与能量

主量子数决定能量，表达式为：

\[ E_n = -\frac{m_ee^2}{2(4\pi\varepsilon_0)^2\hbar^2}\frac{1}{n^2} \]

基态能量 \(E_1 = -13.6 \text{ eV}\)

跃迁

电子在能级上向下或向上跃迁，吸收或者放出能量（光子）

\[ h\nu = E_h - E_l \]
  • 跃迁到基态 : 莱曼系，紫外区
  • 跃迁到 \(n=2\) : 巴尔末系，可见光区
  • 跃迁到 \(n=3\) : 帕邢系，红外区

玻尔原子模型中仍然是经典的轨道理论，速度、角动量等的计算都按照力学知识计算

轨道量子数与角动量

轨道量子数决定角动量。

\[ L = \sqrt{l(l+1)}h \]

轨道磁量子化与角动量方向

轨道磁量子数决定了角动量的方向，称为空间磁量子化

\[ L_z = m_l \hbar \]

（角动量在 \(z\) 轴方向的投影）

壳层（\(n\)) 与次壳层（\(l\)）

\(n\) 的大小被称为壳层，命名为 K，L，M，N。（简并态）

\(l\) 的大小被称为次壳层，命名为 s，p，d，f，g。

电子的自旋

自旋量子数：\(s = \frac{1}{2}\)，自旋的大小为 \(S = \sqrt{s(s+1)} \hbar = \sqrt{\frac{3}{4}} \hbar\)

自旋磁量子数：\(m_s = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}\)，在某个方向的投影为 \(S_z = m_s \hbar\)

Note

电子的自旋角动量 \(S\) 可以和轨道角动量 \(L\) 耦合，形成 \(\bm J = \bm L + \bm S\)

有

\[ J = \sqrt{j(j+1)} \hbar \]

j 的取值取决于 l 和 s

Note

电子的自旋会带来在磁场中的磁矩能量，从而带来一个微小的能量差，称为精细结构

Note

证实电子自旋存在的实验是 “施特恩-格拉赫实验” 。

泡利不相容原理

对一个电子系统；

如果使用 \((n,l,m_l,m_s)\) 四个量子数来描述电子，那么任何一个确定的状态内不可能有多于一个的电子存在。

原子中究竟能放多少个电子：

  • \(m_s\) 项贡献两个 （\(1/2\) 和 \(-1/2\)）

  • \(m_l\) 项贡献 \(2l + 1\) 个（从 \(-l\) 到 \(+l\)）

  • 只有 \(n\) 同的有 \(2n^2\) 个。（ \(\sum{ 2 \times (2l+1)}\) ）

电子分布：

  1. 电子总处于可能的最低的能级
  2. 满足泡利不相容

经验公式：按照 \(n+0.7l\) 排序

激光

自发辐射 = 丢自己的坑

受激辐射 = 丢自己的坑 + 把别人挤下去

受激辐射会再次放出一个光子。这样就可以倍增，形成放大的相关光。

还需要有粒子数布居反转的特性

激光器（谐振腔）加强那些严格与其管平行的光，增强其单色性、方向性、相干性。