波粒二象性¶
黑体辐射¶
定义：光谱辐出度（单色辐出度）
单位时间内，辐射在某个频率附近的电磁波的能量
\[ M_v = \frac{\text d E_\nu T}{\text d \nu} \]
单色吸收率
\[ \alpha_{\nu}(T) = \frac{\text d E_{\nu(吸收)}}{\text d E_{\nu(入射)}} \]
黑体：\(\alpha_\nu = 1\)
基尔霍夫辐射定律：平衡时有
\[ \frac{M_{\nu i}}{\alpha_{\nu i}} = M_{\nu黑体} \]
黑体辐射谱¶
\(M_\nu \sim \nu\) 关系
- 最大功率的位置(维恩位移定律)：\(\nu_m = C_{\nu} T\)
-
总的辐出度（面积）（斯特藩-玻尔兹曼定律）: \(M(T) = \sigma T^4\)
-
函数关系（普朗克公式）:
\[ M_\nu(T) = \frac{2\pi h}{c^2} \frac{\nu^3}{e^{h\nu/kT} - 1} \]
光的粒子性¶
光电效应¶
\[ E = h \nu \]
\[ W_{m} = E - eU_0 \]
Note
\(1 \overset{\ \circ}{A} = 10^{-10} m\)
康普顿散射¶
波长会增长，相当于光子和电子的碰撞
\[ \Delta \lambda = \lambda_c (1 - \cos \varphi) \]
Hint
用电子和光子的能量守恒即可。
实物粒子的波动性¶
德布罗意波
\[ \nu = \frac{E}{h}, \lambda = \frac{h}{p} \]
轨道量子化的条件：驻波
稳定轨道 \(2\pi r = n \lambda\)，波长 \(\lambda = \frac{h}{p}\) \(\implies\) \(2 \pi r m v = nh\) （角动量量子化）
概率波与波函数¶
\(\Psi(\vec r,t) : \mathbb R^3 \times \mathbb R \to \mathbb C\)
在 \(\vec r,t\) 处的概率密度为 \(|\Psi(\vec r, t)| = \Psi(\vec r, t)^*\Psi(\vec r, t)\)
- 有限性
- 归一性
- 单值性
- 连续性
自由粒子的空间波函数¶
类比自由粒子的波函数
\[ \Psi(r,t) = \Psi_0 e^{\frac{1}{\hbar}\vec p \cdot \vec r} \cdot e^{-\frac{i}{\hbar} E \cdot t} \]
状态叠加原理¶
可能状态的复线性组合仍然是可能的状态
不确定关系¶
\(\Delta q \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}\)
例如：角度与角动量，距离与动量，能量与时间
应用：寿命（\(\Delta t\)）与能级宽度(\(\Delta E\))