电磁感应、麦克斯韦方程组 磁生电 总体规律：感应电动势 \(\varepsilon = - N \frac{\text d \Phi}{\text d t}\) （右手螺旋法则，\(N\) 为线圈匝数）
动生电动势 \[ \varepsilon = \int_{(a)}^{(b)} (\vec v \times \vec B) \cdot \text d \vec l \]
特殊情况：三者彼此垂直
\(\varepsilon = Bvl\)
Hint
洛伦兹力做总功为 \(0\) ，将机械能 / 转换为电能。
感生电动势 \[ \varepsilon_{感} = - \int_S \frac{\partial \vec B}{\partial t} \cdot \text d \vec s \]
事实上是激发了电场，与有没有导线没有关系。
\[ \varepsilon_{感} = \oint_{L} \vec E_{感} \cdot \text d \vec l \]
感生电场的计算
很难计算。只有在某种对称性的时候才有可能计算出来。
Example
空间均匀的磁场被限制在圆柱体内
\[ E_{感} = \left\{ \begin{aligned} -\frac{r}{2} \frac{\text d B}{\text d t}&,r \leq R\\ -\frac{R^2}{2r} \frac{\text d B}{\text d t}&, r > R \end{aligned} \right. \]
感应电场的通量：感生电场的电场线闭合。
\[ \oint_S \vec E_{感} \cdot \text d \vec s = 0 \]
Hint
\(\vec E_{感}\) 线和 \(\vec B\) 线互相套连。
应用 互感 & 自感 \[ \psi_{i2} = M i_2\\ \psi_{i1} = M i_1 \]
\(M\) 为互感系数，单位为亨利，符号为 \(\mathrm H\)
互感电动势(1由于2的变化产生的) \(\varepsilon_{12} = - M \frac{\text d i_2}{\text d t}\)
\[ \psi = L i \]
\(L\) 为自感系数，单位同上
自感电动势 \(\varepsilon_L = -L\frac{\text d i}{\text d t}\)
计算思路：\(i \to B \to \Psi \to M/L\)
自感与互感的关系：\(M = k \sqrt{L_1L_2}\) ，其中 \(k\) 为耦合系数，由介质 + 几何情况决定。
磁场中蕴含的能量 自感线圈具有磁能 \(W_m = \frac{1}{2} LI^2\) 。
对于长直螺线管来说：\(L = \mu n^2 V\) （其中 \(V = LS\) 为螺线管内的体积）
螺线管内的磁能：\(W_m = \frac{B^2}{2\mu} = \frac{1}{2} \vec B \cdot \vec H\)
Warning
通用的公式如下：
\[ W_m = \int_V w_m \text d v = \int_V \frac{1}{2} \vec B \cdot \vec H \text d v \]
超导体 某些材料在温度低于某一温度的时候电阻会变为 0 。
基本特性 零电阻现象 完全的抗磁性 （事实上会在极为浅的表层内有超导电流抵消掉外磁场） 重要参数 临界温度 \(T_c\) 临界磁感强度 \(B_c\) ：\(B > B_c\) 时候失超
\[ B_c(T) = B_c(0) \cdot [1-(\frac{T_c}{T})]^2 \]
临界电流密度 \(j_c\) ：\(j > j_c\) 时失超
\[ j_c(T) = j_c(0) \cdot [1-(\frac{T_c}{T})^2] \]
超导体的分类 第一类：只有一个 \(B_c\)
第二类：有 \(B_{c1}\) 和 \(B_{c2}\) ，
\(B > B_{c2}\) : \(R \neq 0, B_{内} \neq 0\) \(B_{c1} < B < B_{c2}\) : \(R = 0, B_{内} \neq 0\) \(B < B_{c1}\) : \(R = 0, B_{内} = 0\) 电生磁 安培环路定理：
\[ \int_{L} \vec H \cdot \text d \vec l = \sum I_{in} \]
修补安培环路定理：位移电流（变化的电场） 位移电流
\[ I_d = \int_S \frac{\partial \vec D}{\partial t} \cdot \text d \vec s = \int_{S} \vec j_d \cdot \text d \vec s \]
Theorem
\[ \oint_L \vec H \cdot \text d \vec l = \int_S (\vec j_0 + \frac{\partial \vec D}{\partial t}) \cdot \text d \vec S \]
麦克斯韦方程组 积分形式 \[ \oint_{S} \vec D \cdot \text d \vec S = \int_{V} \rho_0 \text d V \]
（电的高斯定律）
\[ \oint_{L} \vec E \cdot \text d \vec l = - \int_{S} \frac{\partial \vec B}{\partial t} \cdot \text d \vec S \]
（磁生电）
\[ \oint_{S} \vec B \cdot \text d \vec S = 0 \]
（磁的高斯定律）
\[ \oint_{L} \vec H \cdot \text d \vec l = \int_{S} (\vec j_0 + \frac{\partial \vec D}{\partial t}) \cdot \text d \vec S \]
（电生磁）
微分形式 （只能再连续的介质内部使用）
\[ \nabla \cdot \vec D = \rho_0 \]
\[ \nabla \times \vec E = - \frac{\partial \vec B}{\partial t} \]
\[ \nabla \cdot \vec B = 0 \]
\[ \nabla \times \vec H = \vec j_0 + \frac{\partial \vec D}{\partial t} \]
界面关系 \[ \left\{ \begin{aligned} &D_{1n} - D_{2n} = \sigma_{0}\\ &E_{1t} = E_{2t}\\ &B_{1n} = B_{2n}\\ &H_{1t} - H_{2t} = (\vec j_{0S} \times \hat n) \cdot \hat t \end{aligned} \right. \]
电磁波 \(\vec E\) 和 \(\vec H\) 在 \(x\) 和 \(t\) 上的变化表现具有波的特征：
\[ \left\{ \begin{aligned} &\frac{\partial^2\vec E}{\partial x^2} = \frac{1}{u^2} \frac{\partial^2 E}{\partial t^2}\\ &\frac{\partial^2\vec H}{\partial x^2} = \frac{1}{u^2} \frac{\partial^2 H}{\partial t^2} \end{aligned} \right. \]
其中 \(u = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon \mu}}\)
能量 \[ w = \frac{1}{2} \vec D \cdot \vec E + \frac{1}{2} \vec B \cdot \vec H \]
对于各向同性的介质：
\[ w = \frac{1}{2} \varepsilon E^2 + \frac{1}{2} \mu H^2 \]
波印廷矢量：能流密度 单位时间内通过垂直方向单位面积的能量
\[ \vec S = \vec E \times \vec H \]
动量密度：
\[ \vec g = \frac{\vec S}{c^2} \]
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