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磁场

磁场是运动电荷之间的力。

磁场强度

用移动电荷受到的力来定义磁场：

磁感应强度的定义

一个带电量为 \(q\) 的粒子以速度 \(\vec v\) 经过某点时，受到的力为 \(\vec F\)，定义 \(\vec F = q \vec v \times \vec B\) 。

单位为特斯拉，符号为 \(\mathrm T\)。

Hint

特斯拉是一个比较大的单位。

磁场满足叠加定律，即 \(B = \sum B_i\) 。

磁通量

\[ \Phi = \int_S \vec B \cdot \text d \vec S \]

就是磁感应强度相对于某个面 \(S\) 的通量。

单位为韦伯，符号为 \(\textrm{Wb}\)

三个基本定理

毕奥-萨伐尔定律：电流元产生的磁场

毕奥-萨伐尔定律

真空中：

\[ \text d \vec B = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I \text d \vec l \times \vec e_r}{r^2} \]

其中：\(\mu_0 = \frac{1}{\varepsilon_0 c^2} = 4 \pi \times 10^{-7}\ \textrm N/\textrm A^2\)

磁通连续定理

Theorem

\[ \oint_{S} \vec B \cdot \text d \vec S = 0 \]

其中 \(S\) 是闭合的曲面。

Warning

这个结论是根据电流磁假说提出的。如果有磁单极子，那么这个结论就不成立。

Hint

这个东西很类似高斯定理。

常见电流/情况的磁场

Note

\[ B = \frac{\mu_0I}{4\pi r}(\cos \theta_1 - \cos \theta_2) \]

其中 \(\theta_1\) 和 \(\theta_2\) 是直导线两侧的电流元和到 \(P\) 点的径矢的夹角。

对无限长直导线：\(B=\frac{\mu_0I}{2\pi r}\)

Note

\[ B=\frac{\mu_0 I}{2r^3/R^2} \]

其中 \(R\) 是圆电流，\(r = \sqrt{R^2+x^2}\)。

在中心处 \(r = R\)，有 \(B = \frac{\mu_0I}{2R}\) 。

Note

定义一个闭合通电线圈的磁偶极矩或者磁矩为 \(\vec m = IS\vec e_n\)。

可以得到其在较远的任意一点产生的磁场有：

\[ \vec B = \frac{\mu_0}{4 \pi} (\frac{- \vec m}{r^3} + \frac{3 \vec m \cdot \vec r}{r^5} \vec r) \]

（这和电偶极子的公式是类似的）

Note

运用圆电流的式子进行积分，得到：

\[ B = \frac{\mu_0 n I}{2} (\cos \theta_2 - \cos \theta_1) \]

其中 \(\theta_2\) 和 \(\theta_1\) 是该点到螺线管两端的矢量与轴线同一方向的夹角。

特殊情况：无限长的螺线管，轴线上的磁感应强度为 \(B = \mu_0nI\) 。

Note

运动电荷和电流元没有本质区别。将电流元产生的磁场视作同一位置所有运动电荷产生的磁场的线性叠加，则有：

\[ B_1 = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{q v \sin \theta}{r^2} \]

（其中 \(\theta\) 是 \(\vec v\) 和 \(\vec r\) 的夹角）

在速度比较小，不考虑相对论效应时，也可以使用电场来估计磁场。

\[ \vec B_1 = \frac{1}{c^2} \vec v \times \vec E_1 \]

安培环路定理

安培环路定理：磁场的环量 等于 电流的通量

\[ \oint_C \vec B \cdot \text d \vec r = \mu_0 \sum I_{in} \]

电流的正负对 C 使用右手螺旋定则。

Hint

只有互为铰链的电流才会被计算，否则都会被抵消。

应用

构造合适的闭合路径（安培环路）。

无限长圆柱面电流

磁力

带电粒子在磁场中的运动

受力：\(\vec F = q \vec v \times \vec B\)

圆周运动半径为 \(R = \frac{mv}{qB}\)

回旋周期为 \(T = \frac{2 \pi m}{qB}\)

螺距为 \(h = v_{//}T = \frac{2\pi m}{qB} v_{//}\)

应用：

  • 磁聚焦：沿磁场方向分速度相同的带电粒子束会重新汇聚穿过另一个点
  • 磁镜：强度逐渐增加的磁场能够使得粒子发生反射。
  • 磁瓶：不均匀，两侧强，中间弱的磁场可以用来约束带电磁场。
    • e.g. 极地可以吸引（？）带电粒子形成极光

霍尔效应

电流通过时，导体两侧的静电力和磁场的磁力相互平衡。

形成的霍尔电压为 \(U_H = \frac{IB}{nqb}\) 。

霍尔电阻形式：

\[ \frac{U_H}{I} = \frac{B}{nqb} \]

载流导线在磁场中受力

\[ \vec F = \int_L I \text d \vec l \times \vec B \]

Hint

在匀强磁场中，载流导线受力只与电流的起点和终点有关。

载流线圈受到均匀磁场的力矩

应用：平行载流导线间的作用力

同向吸引，异向排斥。

\[ F = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d} \]

磁介质

磁介质会影响磁场，影响后的和之前的比例 \(\mu_r\) 称为相对磁导率。

\[ \vec B = \mu_r \vec B_0 \]

磁介质的分类

  • \(\mu_r = 0\)：超导体，完全抗磁
  • \(\mu_r < 1\): 抗磁质
  • \(\mu_r > 1\): 顺磁质
  • \(\mu_r \gg 1\): 铁磁质

原理：原子和分子的磁矩

（圆电流的磁矩：\(\vec m = IS\vec e_n\)）

电子轨道运动电流的磁矩：\(m = \frac{evr}{2}\) （角动量表示：\(m = \frac{e}{2m_e}L\) ）

电子自旋电流的磁矩：\(\vec m = -\frac{e}{m_e} \vec S\) （其中 \(\vec S\) 为自旋角动量）

质子轨道磁矩：\(\vec m = \frac{e}{2m_p} \vec L\)，中子无轨道磁矩

质子和中子都有自旋磁矩 \(\vec m = g\frac{e}{2m_p}\vec S\)（其中 \(\vec S\) 为自旋角动量）\(g\) 喂参数，质子的 \(g = 5.5857\)，中子的 \(g = -3.8261\) ）

原子核也有自旋角动量，形式与质子/中子的类似。

Note

核的磁矩 \(\ll\) 电子的磁矩

分子磁矩：等价于一个分子电流产生的：环状，大小为 \(i_{分}\) 。

  • 顺磁质：\(\vec m_{分}\) 不为 0，一般是 \(10^{-23} \ \textrm{Am}^2\)
  • 抗磁质：\(\vec m_{分}\) 为 0

Note

分子的磁矩主要是电子的轨道和自旋产生的。

磁化及其微观解释

磁化：在磁场作用下，介质出现磁性或磁性发生变化的现象

对于顺磁质：分子固有磁矩 \(\vec m \neq 0\) ，则分子会按照外磁场的方向排列，加强外磁场

对于抗磁质：分子固有磁矩 \(\vec m = 0\)，轨道会绕外磁场方向产生进动，从而产生外磁场。

磁化强度

磁化强度

\[ \vec M = \lim_{\Delta V \to 0} \frac{\sum{\vec m}}{\Delta V} \]

Warning

对顺磁质和抗磁质，实验表明 \(\vec M \propto \vec B\) 。

对铁磁质，非线性且非单值对应。

磁化电流

由于介质磁化而出现的一些等效的电流分布

根据安培环路定理：

\[ I’ = \oint_{L} \vec M \cdot \text d \vec l \]

在磁介质表面

这个很重要

\[ j' \equiv \frac{\text d I'}{\text d l} = M_t = \vec M \times \hat n \]

（\(M_t\) 为平行于界面方向的磁化强度

磁介质中的安培环路定理

两个工具：

  1. 高斯定律
  2. 安培环路定律

Theorem

\[ \oint_{L} (\frac{\vec B}{\mu_0} - \vec M) \cdot \text d \vec l = \sum I_{0内} \]

注意，此处的 \(I_{0内}\) 为 传导电流，不包括感应电流。

磁场强度

Definition

\[ \vec H = \frac{\vec B}{\mu_0} - \vec M \]

Definition

有

\[ \vec B = \mu_0 \mu_r \vec H \]

其中 \(\mu = \mu_0 \mu_r\) 称为磁导率

应用：界面关系

根据高斯定律：\(B_{1n} = B_{2n}\)

根据安培环流定理：\(H_{1t} = H_{2t}\)

如果界面两侧磁导率分别为 \(\mu_1,\mu_2\)，那么有 \(\frac{B_{1t}}{\mu_1} = \frac{B_{2t}}{\mu_2}\) 。

磁感线会产生类似光线折射的情况。

结果：磁感线试图进入磁感率很大的介质时，会产生巨大的折射，所以 \(\vec B\) 线会几乎沿着铁芯延续。

简单磁路