恒定电流¶
概念框架¶
电流密度¶
电流强度 \(I = \frac{d q}{d t}\)，对于细导线成立。
对于粗导线，引入电流密度 \(\vec j = \frac{dI}{dS_\perp} \hat v\)，其中 \(\hat v\) 是正载流子运动的方向。
Note
\(\vec j\) 是一个点矢量。
Note
考虑一个小平面的通量：
\[ d I = j \text d S_\perp = \vec j \cdot d \vec S \]
因此对于任意曲面 \(S\)，有
\[ I = \int_S \text d I = \int_S \vec j \cdot \text d \vec s \]
Note
从微观层面考虑：
\[ \vec j = n q \vec v = n q \langle \vec v \rangle \]
需要注意载流子运动的方向，\(\langle \vec v \rangle\) 为载流子平均定向移动速度，也叫漂移速度（数量级 \(10^{-1} \text { mm / s}\)）。
电荷守恒的另一种表达：对于封闭曲面 \(S\)，流出的电流等于减少的电荷
\[ \oint_S \vec j\cdot \text d \vec s = - \frac{d}{dt} \int_V \rho_e \text dV \]
\[ \nabla \cdot \vec j = - \frac{\partial \rho_e}{\partial t} \]
电流强度¶
恒定电流为 \(\vec j\) 的大小和方向都不随时间变化。
Note
恒定电流要求 \(\vec E\)，\(\rho_e\) 都随时间不改变。
Note
数学表示：
\[ \nabla \cdot \vec j = 0\\ \oint_S \vec j \cdot d \vec s = 0 \]
Hint
这里可以善用 \(\vec j\) 的对称性，类似高斯定律。
Note
恒定电场满足环路定理，具有保守性
电动势¶
非静电力，将正电荷从负极（电势低）移动到正极（电势高）的位置。
非静电力场强定义为 \(E_k =\frac{\vec{F}_k}{q}\)，
电动势定义为
\[ \varepsilon = \oint_L \vec E_K \cdot d \vec l \]
电阻与欧姆定律¶
电阻的决定式：
\[ R = \rho \frac{L}{S} \]
\(\rho\) 为电阻率。
电导 \(G = 1 / R\)，电导率 \(\sigma = 1 / \rho\)
欧姆定律
欧姆定律的宏观形式：
\[ U = IR \]
借助电流密度的微观形式（点点对应的表达式）：
\[ \vec j = \frac{1}{\rho} \vec E \]
证明上面的表达式
\[ -\text d U = j \text d S \rho \frac{\text d l}{\text dS}\\ j = -\frac{1}{\rho}\frac{\text d U}{\text d l} = \sigma E \]
Note
恒定条件下，均匀导体内 \(\rho_{in} = 0\)，电荷只分布在导体表面 /界面。
\[ \oint_{S} \vec j \cdot d \vec s = \sigma \oint_{S} \vec E \cdot d \vec s = 0 = \sigma \mu_0 \sum{q_{in}} \]
【check 高斯定律常数】
电路与电源¶
- 单分支回路：
\[ \varepsilon_{总} = IR_{总} \]
- 多分支回路：
\[ \sum_{L} \varepsilon = \sum_{L} I_iR_i \]
- 一段含源电路：
\[ U_a - U_b = \sum_{a\to b} I_i R_i - \sum_{a \to b} \varepsilon_i \]
以上各式注意正方向。