静电场与电势、导体、电介质¶

静电场与电势¶

点电荷产生的场强

\[ \vec E = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} \hat r \]

电偶极子的场强

\[ \vec E \propto \vec p \frac{1}{r^3} \]

\(\vec p\) 从负电荷指向正电荷

具体系数具体计算。

带电点电荷系的场强

\(\sum q_i \neq 0\) ==> 点电荷二次方反比

\(\sum q_i = 0, \sum \vec p_i \neq 0\) ==> 偶极子，三次方反比

否则：四极子，四次方反比

高斯定理

\[ \oint_S \vec E \cdot \text d \vec S = \frac{\sum q_in}{\varepsilon_0} \]

需要具有一定程度的对称性，不要硬积分

无限大平板的场强

高斯定理的推论。

\[ E = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} \]

注意两侧方向不同。

均匀带电球面的场强

高斯定理的推论

内部无场强，外部成二次方反比。

均匀带电圆柱面场强

内部无场强，外部是一次方反比

均匀带电球体场强

内部线性，外部二次方反比

均匀带电圆柱体场强

内部线性，外部一次方反比

电势的定义

\[ U_a = \int_a^O \vec E \cdot \text d \vec l \]

场强的积分就是电势。没有什么特殊的技巧。

电场能量密度

\[ \omega_e = \frac{\text d W}{\text d V} = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2 \]

导体¶

导体内部等势，场强为 0
接地导体电势为 0（和无限远相同）

导体的静电感应：

异号的增大电场
同号的减小电场

唯一性定理

电场有以下条件之一，那么解就是唯一的:

边界的电势分布
边界面为等势面 + 闭合边界面的电通量（以导体的电量 + 高斯定理给出）

静电屏蔽

封闭的导体壳屏蔽了壳外电荷对壳内电荷的影响。

接地的导体壳屏蔽了壳内外电荷间的相互影响。

例:电像法

Hint

电势不受方位影响！只需要考虑 \(r\) 即可

电介质¶

电介质会影响（减小）场强：\(\vec E = \frac{\vec E_0}{\varepsilon_r}\)

极化电荷和扩展的高斯定律¶

极化强度

\[ \vec P = \lim \frac{\sum_{\vec p_i}}{\Delta V} \]

极化强度 ==> 极化电荷的分布

\[ \sigma' = \vec P \cdot \hat n \]

其中 \(\hat n\) 是外法向。

\[ \rho' = -\nabla \cdot \vec P \]

（其实两者本质是一样的，都是散度，高斯定理的推论。）

实验下的极化规律 & 扩展的高斯定理

\(\vec P = \varepsilon_0 (\varepsilon_r-1) \vec E\)

那么，就有扩展的高斯定律：\(\vec D\) 为扩展的电位移矢量。

\[ \oint_S \vec D \cdot \text d \vec S = \sum{q_{0内}} \]

其中 \(\vec D = \varepsilon_0 \varepsilon_r \vec E\) 。

Warning

这里的 \(q_{0内}\) 是自由电荷。

边值关系¶

边值关系是相对简单的。

这是扩展的高斯定理的推论。

法向：

\[ D_{1n} - D_{2n} = \sigma_0 \]

切向：

\[ E_{1t} = E_{2t} \]

（根据静电场的保守性）

各项同性的界面很像光学的折射。

电容¶

电容

是导体固有的容电本领！

\[ C = \frac{Q}{U} \]

影响因素：

介质
几何因素

电容的求法

先假设我们已知 \(Q\)，然后求出 \(\vec E\)，积分得到 \(\Delta U\)。

其实只要背诵 \(E\)，再积分，求出来倒数即可。

常数再说。

导体球的电容

\[ C = 4 \pi \varepsilon_0 R \]

平行板的电容

\[ C = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon_rS}{d} \]

Warning

插入介质板和导体板都会增大电容。

电容器的能量

\[ W = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C} = \frac{1}{2} CU \]

\[ w_e = \frac{1}{2} \vec D \cdot \vec E \]