作业题选摘

作业题选摘¶

作业1¶

1.(2)¶

证明：\(P(A) + P(B) - 1 \leq P(AB) \leq P(A+B) \leq P(A) + P(B)\)

\(P(AB) = P(A) + P(B) - P(A+B)\)，可以知道最右侧不等式和最左侧不等式。

\(P(AB) \leq P(A) \leq P(A+B)\) 。

10¶

注意条件给出的话到底是什么意思。

把事件都设出来。

\(P(BC \mid A) = P(C \mid BA) P(B \mid A) = \frac{P(ABC)}{P(AB)} \frac{P(AB)}{P(A)}\)

12¶

设其及其后代全部灭亡为事件 \(A\)

\(P(A) = \frac{1}{3}\times1+\frac{1}{3}\times P(A) + \frac{1}{3} \times (P(A))^2\)

作业2¶

2¶

复习概率的连续性。简单来说，就是集合的并/交的极限可以和概率交换位置。

使用的话，就要构造一个单调的集合序列。

9¶

计算某分布的期望或方差时，要善用已经知道的分布的求和=1结果。

作业3¶

4¶

均值为 \(\lambda\) 的指数分布是 \(\mathrm{Exp}(\frac 1 \lambda)\)

5¶

以 95% 的把握不冤枉一个无罪的人

\(P(判处无罪 \mid 事实上无罪) \geq 0.95\)

6¶

“各个年龄段的吸烟者的死亡率是非吸烟者的死亡率的 2 倍”

意味着是失效率，或者说危险率，就是在 \(\mathrm{d}t\) 时间内的死亡的概率是两倍。

7¶

积分变换

8¶

Beta 分布

\(f(x) = \frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}x^{a-1}(1-x)^{b-1},(0 < x < 1)\)

\(E(X) = \frac{a}{a+b}\)

\(Var(X) = \frac{ab}{(a+b)^2(a+b+1)}\)

11¶

要掌握硬变换的知识

作业4¶

4，5¶

二元正态...

\(X = [X_1,\cdots,X_n]^T\) ，联合分布： \(f_X(\boldsymbol{x}) = \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^n |\Sigma|}} \exp(-\frac{1}{2}(\boldsymbol x-\boldsymbol\mu)^T \Sigma^{-1}(\boldsymbol x - \boldsymbol \mu))\)

其中 \(\boldsymbol \mu\) 为均值向量，\(\Sigma\) 为协方差方阵 \((Cov(X_i,X_j))_{(i,j)}\)

计算的时候先标准化会方便很多。

8¶

Coupla 函数。

构造指定分布的随机变量。

如果 \(X \sim U(0,1)\) ，\(F\) 为指定的随机变量的累计分布；那么 \(F^{-1}(X)\) 的累计分布函数即为 \(F\)

二元的也是类似的。

\(C(u,v)\) 是一个二元 Coupla 函数，边际分布均为 \(U(0,1)\) 。

则 \(X,Y \sim C(F(x),G(y))\) ，其边际分布分别为 \(F(x), G(y)\)

作业5¶

2¶

简单的概率密度函数的积分变换。

\(f(x,y)= g(u,v) \left|\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}\right|\)

3¶

超级麻烦的二元正态的代换。

9¶

对数正态分布的均值和方差

巧妙换元，借用分布函数积分为 \(1\) 的结论

10¶

样本方差是除以 \(n-1\) ，期望也是 \(\sigma^2\)

11¶

不相关和 \(Corr(X,Y) = 0\) 和 \(E(XY) = E(X)E(Y)\) 是等价的，而非独立。

13¶

期望有线性性，可以设 \(X_i\) 为第 \(i\) 个人是否拿到了自己的帽子，\(X = \sum_{i=1}^n X_i\) 即为拿到帽子的人数的和。

14¶

期望的柯西不等式

\(E^2(UV) \leq E(U^2)E(V^2)\) 。证明，构造方差 \(Var(U-tV) \geq 0\) 。或者也可以用积分形式的柯西去理解。

15¶

\(Cov(X_i-\overline X, \overline X) = 0\) ，但两者只是线性不相关，并不独立。

作业6¶

2¶

矩母函数

求 \(n\) 次导，在 \(0\) 点的取值是 \(n\) 阶矩。求导不要忘记 \(n\) 的系数。

标准矩拆开成零点矩来计算。

3¶

常见的矩母函数一定要背熟orz

4¶

正态的矩母函数取 \(t=k\) 就是 对数正态的 \(k\) 阶原点矩。

8¶

\(E(Y \mid X) = X\) 意味着什么？具有极强的协变性。

\(Cov(X,Y) = Var(X)\)

9¶

独立 → \(E(Y \mid X) = E(Y)\)

10¶

条件方差

\(Var(Y\mid X) = E((Y - E(Y\mid X))^2 \mid X)\)

和方差没有本质区别：

\(Var(Y|X) = E(Y^2\mid X) - E^2(Y \mid X)\)

\(Var(Y) = E(Var(Y \mid X)) + Var(E(Y \mid X))\) 可以视作，对于每一个 \(X\)，内部的方差，和不同的X之间的方差的求和。

12¶

最优线性预测

用 \(aX+b\) 去估计 \(Y\)

系数的选择： \(a = \rho\frac{\sigma_2}{\sigma_1}, b = \mu_2 - \rho \frac{\sigma_2}{\sigma_1}\mu_1\)

13¶

随机个数（\(N\)）个随机变量的和，可以用矩母函数转成期望，然后用条件期望去把 \(N\) 放进去。

作业7¶

1¶

能用强大数的时候就用强大数。

概率为 1 也不能说“就是”。

4¶

\(S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i-\overline{X})^2\) 依概率收敛到 \(\sigma^2\)

依概率收敛 \(\lim\limits_{n\rightarrow\infty} P(|X_n - \mu| \leq \varepsilon) = 1\)

后面的依概率收敛到 0。前面的...我们视作一个各自独立的随机变量。那么这个就趋近于它的期望，也就是 \(\sigma^2\) ？

8¶

运用 CLT 估计的时候先标准化成标准正态再求分布

9¶

算术平均值与真值之差的绝对值低于微小正数 \(\varepsilon\) 的概率超过 \(1-\alpha\) 的概率

也就是 \(P(|\overline X - \mu| \leq \varepsilon) > 1-\alpha\) 也就是说，\(\frac{\overline X - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt n}} \leq \frac{\sqrt n}{\sigma}\) 。