习题课选摘

习题课选摘¶

贝叶斯

概率的连续性

$A_1, \cdots, A_n$ 单调递增，$A = \sum_{i=1}^\infty A_n$ ，$P(A) = \lim_{n\to\infty}P(A_n)$

$A_1, \cdots, A_n$ 单调递减，$A = \prod_{i=1}^\infty A_n$ ，$P(A) = \lim_{n\to\infty}P(A_n)$

独立的另一种解释：不提供任何的信息。

比较复杂的全概率，贝叶斯，和一些乱七八糟的 $$ P(甲有罪 \mid 只有甲匹配) = \frac{P(只有甲匹配 \mid 甲有罪) P(甲有罪)}{P(只有甲匹配 \mid 甲有罪) P(甲有罪) + P(只有甲匹配 \mid 甲无罪) P(甲无罪) } $$

如果这个妈妈嫌小男孩太闹腾，每次都带小女孩出去散步呢？

指数分布是无记忆性的，不管上一个车走了多久，下一个车来的时间都符合同一个指数分布。所以无论你在什么时刻到达，平均等待时间都是 10 分钟。

概率积分变换

Box-Muller 算法

可以把均匀分布转化为正态

用矩阵形式一定程度上可以简化正态的计算

可以在 $E(X) = \mu$ 处展开 $Y = g(X)$ ，得到 $E(Y) = g(\mu) + \frac{g''(\mu)^2}{2}\sigma^2$ 。（一次项消掉了）

Monte-Carlo 方法

选取更接近被积函数的分布 $h(x)$，通过计算 $I(g) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\frac{g(X_i)}{h(X_i)}$ 来计算积分。