极限定理与估计¶
大数定律¶
中心极限定理（CLT）¶
Theorem
\(X_1, \cdots, X_n\) 独立同分布，\(E(X_i) = \mu\) ， \(Var(X_i) = \sigma^2 > 0\)，则有：
\[\lim_{n\to \infty}P(\frac{X_1+\cdots+X_n - n\mu}{\sqrt n \sigma} \leq x) = \Phi(x)\]
也就是说： 1. \(X_1 + \cdots + X_n {\overset{近似 }{\sim}} N(n \mu, n \sigma^2)\) 2. \(\overline X { \overset{近似}{\sim}} N(n \mu, \frac{\sigma^2}{n})\)
也就是说，根据其应有的期望和方差称为正态分布。
应用：估计二项分布¶
若 \(X_i \sim B(p)\)， \(\sum X_i \sim B(n,p)\)，则：
\[P(t_1 \leq \sum_{i=1}^n X_i \leq t_2) \approx \Phi(y_2) - \Phi(y_1)\]
其中：
\[ \left\{ \begin{aligned} y_1 = \frac{t_1-np{\color{ff0000}-1/2}}{\sqrt{np(1-p)}}\\ y_2 = \frac{t_2-np{\color{ff0000}+1/2}}{\sqrt{np(1-p)}} \end{aligned} \right. \]