基本概念¶
引入¶
Monty Hall 问题¶
三个紧闭的门，后面分别有两只羊和一辆汽车。
“假阳性”¶
1/10000 的患病率；检验对患病者的准确率为 99%，对于未患病者准确率为 99.9% ，那么拿到阳性结果后患病的概率？
概率的发展史¶
de mere 问题
Pascal 和 Fermat 之间的通信：诞生了概率的数学理论——初等数学方法（e.g. 排列组合）
Laplace：创立分析概率论 ——分析方法，like Cauchy to Calculus
Kolmogorov ：发展了现代理论，严谨化——测度论
试验与事件¶
试验：
样本空间： \(\Omega\)
事件：\(A \subset \Omega\)
事件的运算¶
概率¶
概率的几种解释¶
概率的公理化的定义¶
例：配对问题
\(n\) 人 \(n\) 帽，随机取，问：无人拿对的概率。
记：\(A_i\) 为第 \(i\) 个人拿到第 \(i\) 顶帽子。 \(P(A_i) = 1/n = \frac{(n-1)!}{n!}\)
考虑对立事件：至少有一个人拿到帽子。
\[P(A_1 + \cdots + A_n) = \sum_{i=1}^n P(A_i) + \cdots + (-1)^{r+1}\sum_{i_1< \cdots <i_r} P(A_{i_1} \cdots A_{i_r})\]
条件概率¶
注：
-
计算可以采用：缩小样本空间、使用定义的方法。
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\(P(AB) = P(A \mid B) P(B) = P(B \mid A)P(A)\)——乘法法则；推广：\(P(A_1 \cdots A_n) = P(A_1) P(A_2 \mid A_1) P(A_3 \mid A_1A_2) \cdots P(A_n \mid A_1 \cdots A_{n-1})\)
独立事件¶
条件独立¶
全概率与贝叶斯公式¶
例：赌徒输光问题
赌徒 A 参加某游戏，输赢均为 1 元，每一次游戏之间独立，赢的概率为 \(p\)，初始资金为 \(i\) 元，输完或达到 \(n\) 元游戏结束。请问：A 赢钱结束的概率是多少？